(Ⅰ)令t=log4x,则有x=4t,f(t)=log4(4t+1)+kt,故函数f(x)的解析式为 f(x)=log4(4x+1)+kx. (Ⅱ)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x) log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,化简可得-log44x=2kx, 即( 2k+1)x=0,∴k=-. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,f(x)=log4(4x+1)-x, 函数g(x)=log4m-f(x)+x=log4m-log4(4x+1)+2x 在(0,+∞)上存在零点, 故有 log4m=log4(4x+1)-2x=log4=log4(+). 令=t,则 1>t>0,log4m=log4(t+t2). 由二次函数的性质可得 0<t2+t<2, ∴0<m<2,故实数m的取值范围为(0,2). |