(1)由>0得f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),关于原点对称. ∵f(-x)=logm=logm=logm()-1=-f(x) ∴f(x)为奇函数 …(3分) (2)∵f(x)的定义域为[α,β](β>α>0),则[α,β]⊂(3,+∞). 设x1,x2∈[α,β],则x1<x2,且x1,x2>3, f(x1)-f(x2)=logm-logm=logm ∵(x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=6(x1-x2)<0, ∴(x1-3)(x2+3)<(x1+3)(x2-3) 即<1, ∴当0<m<1时,logm>0,即f(x1)>f(x2); 当m>1时,logm<0,即f(x1)<f(x2), 故当0<m<1时,f(x)为减函数;m>1时,f(x)为增函数. …(7分) (3)由(1)得,当0<m<1时,f(x)在[α,β]为递减函数, ∴若存在定义域[α,β](β>α>0),使值域为[logmm(β-1),logmm(α-1)], 则有 | logm=logmm(α-1) | logm=logmm(β-1) |
| | …(9分) ∴ ∴α,β是方程=m(x-1)的两个解…(10分) 解得当0<m<时,[α,β]=[,], 当≤m<1时,方程组无解,即[α,β]不存在. …(12分) |