已知曲线C1：y=x2，C2：y=lnx，直线x=t与曲线C1，C2分别交于M，N两点，求|MN|最小是t的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知曲线C1：y=x2，C₂：y=lnx，直线x=t与曲线C₁，C₂分别交于M，N两点，求|MN|最小是t的值．

答案

∵直线x=t与曲线C₁，C₂分别交于M，N两点，
∴M（t，t²），N（t，lnt），
∴|MN|=|t²-ln|=t²-lntt，
令g（t）=t²-lnt（t＞0），
g′（t）=2t-

1

t

=

2t2-1

t

=

2(t+ 2 2 )(t- 2 2 )

t

，
∴g′（t）＞0，t＞

2

2

，
g′（t）＜0，t＜

2

2

，
∴当t=

2

2

时，g（t）取得极小值g（

2

2

）=

1

2

+ln2，
∵在t∈（0，+∞）时，g（t）取得唯一的极小值，故也是最小值；
∴|MN|_min=g（t）_min=

1

2

+ln2．