我们将点P(x,y)经过矩阵abcd的变换得到新的点P"(x",y")称作一次运动,即:x′y′=abcdxy.(1)若点P(3,4)经过矩阵A=0110变换后
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我们将点P(x,y)经过矩阵abcd的变换得到新的点P"(x",y")称作一次运动,即:x′y′=abcdxy.(1)若点P(3,4)经过矩阵A=0110变换后
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
我们将点P(x,y)经过矩阵
a
b
c
d
的变换得到新的点P"(x",y")称作一次运动,即:
x′
y′
=
a
b
c
d
x
y
.
(1)若点P(3,4)经过矩阵
A=
0
1
1
0
变换后得到新的点P",求出点P"的坐标,并指出点P"与点P的位置关系;
(2)若函数
f(x)=
1
a
x
2
+
5
a
(x≥0)的图象上的每一个点经过(1)中的矩阵A变换后,所得到图象对应函数y=g(x),试研究在y=g(x)上是否存在定义域与值域相同的区间[m,n],若存在,求出满足条件的实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵
0
1
1
0
3
4
=
4
3
,∴P"的坐标为(4,3)(2分)
显然点P"与点P关于直线y=x成轴对称;(4分)
(2)由(1)知y=g(x)为y=f(x)的反函数,(5分)
∴x
2
=ay-5,∴
x=
ay-5
∴当a>0时,
g(x)=
ax-5
(
x≥
5
a
)(7分)
当a<0时,
g(x)=
ax-5
(
x≤
5
a
)(8分)
当a>0时,函数y=g(x)在定义域内单调递增,
要使函数y=g(x)存在定义域与值域相同的区间[m,n],
只需方程
ax-5
=x
当x≥0时有两个相异实根,(10分)
即方程ax-5=x
2
有两个相异正根(x=0显然不是方程的根),∴
a=x+
5
x
(x>0)即函数y=a与函数
y=x+
5
x
(x>0)有两个交点,
由基本不等式可知:
a>2
5
(
x+
5
x
≥2
5
当且仅当
x=
5
时有最小值)(12分)
当a<0时,∵函数y=g(x)的值域为[0,+∞),而
x≤
5
a
<0
,∴当a<0时,不存在定义域与值域相同的区间[m,n],∴a的取值范围为
(2
5
,+∞)
.(14分)
举一反三
函数y=log
2
(x-1)(x>1)的反函数的表达式为( )
A.y=2
x+1
(x∈R)
B.y=2
x-1
(x∈R)
C.y=2
x
-1(x∈R)
D.y=2
x
+1(x∈R)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数y=f(x)的图象与函数y=log
2
(x-1)(x>1)的图象关于直线y=x对称,则f(x)的表达式为( )
A.f(x)=2
x+1
(x∈R)
B.f(x)=2
x-1
(x∈R)
C.f(x)=2
x
-1(x∈R)
D.f(x)=2
x
+1(x∈R)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=a
x
(a>0且a≠1),其反函数为f
-1
(x).若f(2)=9,则
f
-1
(
1
3
)+f(1)
的值是( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=2-x(0<x≤3)的反函数的定义域为______
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=e
x+1
的反函数是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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