已知幂函数y=f（x）的图象经过点(2，2)．（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知幂函数y=f（x）的图象经过点(2，

2

)．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

答案

（1）依题意设y=x^α，
∵函数y=f（x）的图象经过点(2，

2

)，
∴

2

=2α，∴α=

1

2

，∴f(x)=x

1

2

，
由f(x)=x

1

2

=

x

可知：f（x）的定义域为[0，+∞）
（2）函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
证明：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

( x1 - x2 )( x1 + x2)

x1 + x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f(x)=

x

在[0，+∞）上是增函数．