已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，13），（1）试求出此函数的解析式；（2）写出此函数的单调区间；（3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，

1

3

），
（1）试求出此函数的解析式；
（2）写出此函数的单调区间；
（3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

答案

（1）设幂函数f（x）=x^a，
则3^a=

1

3

，解得a=-1
∴f（x）=x^-1；
（2）∴f（x）=x^-1的单调递减区间是（0，+∞），（-∞，0）．
（3）取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，那么 f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=-

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x）在（0，+∞）内是减函数．