设函数f(x)=12sinx+32cosx，x∈R．（I）求函数f（x）的周期和值域；（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=32

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx，x∈R．
（I）求函数f（x）的周期和值域；
（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

答案

（I）∵f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)，（3分）
∴f（x）的周期为2π．（4分）
因为x∈R，所以x+

π

3

∈R，
所以f（x）值域为[-1，1]；（5分）
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+

π

3

)，（6分）
∴sin(A+

π

3

)=

3

2

，（7分）
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，（8分）
∴A+

π

3

=

2π

3

，得到A=

π

3

．（9分）
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，（10分）
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，∴sinB=1，（11分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

2

．（12分）
∴C=π-A-B=

π

6

．（13分）