已知函数f(x)=cosx+cos(x+π2),x∈R,(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的单调增区间;(Ⅲ)若f(a)=34,求sin2α的值.

已知函数f(x)=cosx+cos(x+π2),x∈R,(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的单调增区间;(Ⅲ)若f(a)=34,求sin2α的值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=cosx+cos(x+
π
2
),x∈R,
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的单调增区间;(Ⅲ)若f(a)=
3
4
,求sin2α的值.
答案
因为f(x)=cosx+cos(x+
π
2
)=cosx-sinx=


2


2
2
cosx-


2
2
sinx)=


2
cos(x+
π
4

    所以:
    (1)f(x)的最小正周期为T=
1
=2π;
    (2)由π+2kπ≤x+
π
4
≤2π+2kπ
,k∈Z得
      
4
+2kπ≤x≤
4
+2kπ
,k∈Z
      故f(x)的单调增区间为[
4
+2kπ
4
+2kπ
],k∈Z
     (3)∵f(a)=
3
4
,即cosα-sinα=
3
4

∴1-2sinαcosα=
9
16

∴sin2α=
7
16
举一反三
cosα=-
4
5
,α是第三象限的角,则
1+tan
α
2
1-tan
α
2
=(  )
A.-
1
2
B.
1
2
C.2D.-2
题型:宁夏难度:| 查看答案
函数f(x)=tanωx(ω>0)图象的相邻两支截直线y=
π
4
所得线段长为
π
4
,则f(
π
4
)的值是(  )
A.0B.1C.-1D.
π
4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知偶函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期是π,则f(x)的单调递减区间为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
下列函数中,周期为π的函数是(  )
A.y=cos4x-sin4xB.y=|tan
x
2
|
C.y=2sin(π-2x)cos(2x-
π
2
)
D.f(x)=sinx-


3
cosx
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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