已知函数f（x）=cosx+cos（x+π2），x∈R，（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（a）=34，求sin2α的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=cosx+cos（x+

π

2

），x∈R，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（a）=

3

4

，求sin2α的值．

答案

因为f（x）=cosx+cos（x+

π

2

）=cosx-sinx=

2

（

2

2

cosx-

2

2

sinx）=

2

cos（x+

π

4

）
    所以：
    （1）f（x）的最小正周期为T=

2π

1

=2π；
    （2）由π+2kπ≤x+

π

4

≤2π+2kπ，k∈Z得
      

3π

4

+2kπ≤x≤

7π

4

+2kπ，k∈Z
      故f（x）的单调增区间为[

3π

4

+2kπ，

7π

4

+2kπ]，k∈Z
     （3）∵f（a）=

3

4

，即cosα-sinα=

3

4

∴1-2sinαcosα=

9

16

∴sin2α=

7

16