已知向量m=(sinx，2cosx)，n=(2cosx，cosx)，f(x)=m•n，(x∈R)，（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；  （2）求f（x）在

题型：不详难度：来源：

已知向量

m

=(sinx，2cosx)，

n

=(2cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

，(x∈R)，
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心； 
 （2）求f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域；
（3）令g（x）=f（x+φ）-1，若g（x）的图象关于原点对称，求φ的值．

答案

f(x)= m • n =2sinx•cosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1

= 2 sin(2x+ π 4 )+1

①T= 2π 2 =π，令2x+ π 4 =kπ⇒x=- π 8 + kπ 2 ，k∈z

对称中心为(-

π

8

+2kπ，1)   k∈z．
②由

x∈[0， π 2 ]⇒2x+ π 4 ∈[ π 4 ， 5 4 π]

⇒sin(2x+ π 4 )∈[- 2 2 ，1]

∴ f(x)∈[0， 2 +1]

③由题意

g(x)=f(x+φ)-1= 2 sin(2x+2φ+ π 4 )+1-1

= 2 sin(2x+2φ+ π 4 )

函数是奇函数，

∴  g(0)= 2 sin(2φ+ π 4 )=0

∴  2φ+ π 4 =kπ⇒φ=- π 8 + kπ 2 ，k∈z