已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．（1）设BC•CA=CA•AB，∠A=5π12，求△ABC中∠B的大小；（2）设向量s=(2sinC，  -3)，

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．
（1）设

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，∠A=

5π

12

，求△ABC中∠B的大小；
（2）设向量

s

=(2sinC，  -

3

)，

t

=(cos2C，  2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，若sinA=

2

3

，求sin(

π

3

-B)的值．

答案

（1）因为

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，
所以

CA

•(

BC

-

AB

)=0，
又

AB

+

BC

+

CA

=0，
所以

CA

=-（

AB

+

BC

），所以-（

AB

+

BC

）•（

BC

-

AB

）=0，
所以

AB

2-

.

BC

²=0，
所以|

AB

|²=|

BC

|²，即|

AB

|=|

BC

|，
故△ABC为等腰三角形． 
因为∠A=

5π

12

，所以∠B=

1

2

(π-

5π

12

)=

7π

24

．
（2）∵

s

=(2sinC，  -

3

)，

t

=(cos2C，  2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，
∴2sinC（2cos2

C

2

-1）=-

3

cos2C，
∴sin2C=-

3

cos2C，即tan2C=-

3

，
∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=

2π

3

，∴C=

π

3

．
∴A=

2π

3

-B，
∴sin（

π

3

-B）=sin[（

2π

3

-B）-

π

3

]=sin（A-

π

3

）．
又sinA=

2

3

，且A为锐角，∴cosA=

5

3

，
∴sin（

π

3

-B）=sin（A-

π

3

）
=sinAcos

π

3

-cosAsin

π

3

=

2

3

×

1

2

-

5

3

×

3

2

=

2- 15

6

．