已知函数f(x)=1-3sin2x+2cos2x．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=1-

3

sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；
（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．

答案

（本小题满分14分）
（1）f（x）=1-

3

sin2x+2cos²x
=cos2x-

3

sin2x+2 （2分）
=2cos（2x+

π

3

）+2，（4分）
∵-1≤cos（2x+

π

3

）≤1，
∴0≤2cos（2x+

π

3

）+2≤4，
∴f（x）的最大值为4，（5分）
当2x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=kπ-

π

6

（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，
则此时x的集合为{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}；（7分）
（2）由f（A）=0得：2cos（2A+

π

3

）+2=0，即cos（2A+

π

3

）=-1，
∴2A+

π

3

=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+

π

3

（k∈Z），
又0＜A＜π，∴A=

π

3

，（9分）
∵a=1，sinA=

3

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，（10分）
又A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴b+c=

2

3

（sinB+sinC）=

2

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

2

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=2sin（B+

π

6

），（12分）
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则b+c的取值范围为（1，2]．（14分）