已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx①求函数f(x)的最小正周期;②在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,若f(C)=2,a+b=4,
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已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx①求函数f(x)的最小正周期;②在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,若f(C)=2,a+b=4,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=2cos
2
x+2
3
sinxcosx
①求函数f(x)的最小正周期;
②在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,若f(C)=2,a+b=4,求△ABC的最大面积.
答案
①由已知f(x)=2cos
2
x+2
3
sinxcosx
=cos2x+1+
3
sin2x
=2sin(2x+
π
6
)+1
∴
T=
2π
2
=π
…(6分)
②由①知
f(C)=2sin(2C+
π
6
)+1=2
,即
sin(2C+
π
6
)=
1
2
又0<C<π
∴
π
6
<2C+
π
6
<
13π
6
∴
2C+
π
6
=
5π
6
∴
C=
π
3
∴
S=
1
2
absinC
=
3
4
ab≤
3
4
(
a+b
2
)
2
=
3
当且仅当a=b时,
S
max
=
3
…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=sin( x+
π
6
)+sin(x-
π
6
)+cosx+a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求使f (x)≥0成立的x的取值集合;
(3)若 x∈[0,π],求函数的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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化简求值
①
tan70°cos10°(
3
tan20°-1)
②已知
sin(α+
π
3
)+sinα=-
4
3
5
,
(-
π
2
<α<0)
,求cosα的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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由倍角公式cos2x=2cos
2
x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos
2
x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos
3
x-cosx-2(1-cos
2
x)cosx
=4cos
3
x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式P
n
(t),使得cosnx=P
n
(cosx),这些多项式P
n
(t)称为切比雪夫多项式.
(I)求证:sin3x=3sinx-4sin
3
x;
(II)请求出P
4
(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;
(III)利用结论cos3x=4cos
3
x-3cosx,求出sin18°的值.
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=co
s
4
x-si
n
4
x+2asi
n
2
(
x
2
-
π
4
),x∈[
π
6
,
2π
3
],a∈R
(1)当a=-4时,求函数f(x)的最大值;
(2)设
g(x)=sinx-
3
2
a
,且f(x)≤-ag(x)在
x∈[
π
6
,
2π
3
]
上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=sin
2
x+2sinxcosx+3cos
2
x其中x∈R
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当
x∈[0,
π
2
]
时,求f(x)的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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