由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-
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由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有 cos3x=cos(2x+x) =cos2xcosx-sin2xsinx =(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx =2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx =4cos3x-3cosx 可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式. (I)求证:sin3x=3sinx-4sin3x; (II)请求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x; (III)利用结论cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值. |
答案
(I)证明:∵sin3x=-cos(-3x)=-cos[3(-x)]=-[4cos3(-x)-3cos(-x)] =-(4sin3x-3sinx)=3sinx-4sin3x,故等式成立. (II)cos4x=cos(2•2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1 =8cos4x-8cos2x+1. (III)∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°, ∴4sin218°+2sin18°-1=0,∴sin18°=. |
举一反三
函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(-),x∈[,],a∈R (1)当a=-4时,求函数f(x)的最大值; (2)设g(x)=sinx-a,且f(x)≤-ag(x)在x∈[,]上恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x其中x∈R (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当x∈[0,]时,求f(x)的值域. |
在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sinC,则△ABC是( )A.等腰三角形 | B.直角三角形 | C.等腰直角三角形 | D.等腰三角形或直角三角形 |
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化简:[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]•. |
已知向量=(-1,cosωx+sinωx),=(f(x),cosωx),其中ω>0,且⊥,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为π. (Ⅰ)求ω的值. (Ⅱ)设α是第一象限角,且f(α+)=,求的值. |
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