已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x其中x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x其中x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

答案

（1）∵f(x)=

1-cos2x

2

+sin2x+3×

1+cos2x

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π（6分）
（2）由（1）知：f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+2
又x∈[0，

π

2

]，则2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
所以当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f(x)max=2+

2

当2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

时，f（x）_min=1
所以，f（x）的值域为[1，2+

2

]（12分）