正方体．ABCD-A1B1C1D1的棱长为l，点F、H分别为为A1D、A1C的中点．（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．

题型：泰安一模难度：来源：

正方体．ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为l，点F、H分别为为A₁D、A₁C的中点．
（Ⅰ）证明：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B₁H⊥平面AFC．

答案

（Ⅰ）连结BD交AC于点E，则E为BD的中点，连结EF


∵EF是△A₁BD的中位线，∴EF∥A₁B
∵EF⊄平面AFC，A₁B⊂平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC；
（II）连结B₁C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形A₁B₁CD是矩形
∵矩形A₁B₁CD中，H为A₁C的中点，∴H也是B₁D的中点
因此，要证明B₁H⊥平面AFC，即证明B₁D⊥平面AFC
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，AF⊂平面AA₁C₁C，∴AF⊥A₁B₁
又∵正方形AA₁C₁C中，AF⊥A₁D，A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AF⊥平面A₁B₁CD，结合B₁D⊂平面A₁B₁CD，得AF⊥B₁D
同理可证：AE⊥B₁D，
∵AF、AE是平面AFC内的相交直线，
∴B₁D⊥平面AFC，即B₁H⊥平面AFC