已知函数f(x)=sin( x+π6)+sin(x-π6)+cosx+a的最大值为1.(1)求常数a的值;(2)求使f (x)≥0成立的x的取值集合;(3)若
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已知函数f(x)=sin( x+π6)+sin(x-π6)+cosx+a的最大值为1.(1)求常数a的值;(2)求使f (x)≥0成立的x的取值集合;(3)若
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=sin( x+
π
6
)+sin(x-
π
6
)+cosx+a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求使f (x)≥0成立的x的取值集合;
(3)若 x∈[0,π],求函数的值域.
答案
(1)函数f (x)=sin( x+
π
6
)+sin (x-
π
6
)+cosx+a=
3
sinx+cosx+a=2sin( x+
π
6
)+a,
由最大值为2+a=1,解得 a=-1.
(2)由f (x)≥0得2sin( x+
π
6
)+a≥0,即 sin( x+
π
6
)≥
1
2
,
∴2kπ+
π
2
≥x+
π
6
≥2kπ+
π
6
,故解集为 {x|2kπ≤x≤2kπ+
2π
3
},k∈Z.
(3)∵x∈[0,π],
∴
π
6
≤x+
π
6
≤
7π
6
,
∴-
1
2
≤sin( x+
π
6
)≤1,
∴-2≤2sin( x+
π
6
)-1≤1,
故函数f (x)=2sin( x+
π
6
)-1 的值域为:[-2,1].
举一反三
化简求值
①
tan70°cos10°(
3
tan20°-1)
②已知
sin(α+
π
3
)+sinα=-
4
3
5
,
(-
π
2
<α<0)
,求cosα的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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由倍角公式cos2x=2cos
2
x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos
2
x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos
3
x-cosx-2(1-cos
2
x)cosx
=4cos
3
x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式P
n
(t),使得cosnx=P
n
(cosx),这些多项式P
n
(t)称为切比雪夫多项式.
(I)求证:sin3x=3sinx-4sin
3
x;
(II)请求出P
4
(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;
(III)利用结论cos3x=4cos
3
x-3cosx,求出sin18°的值.
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=co
s
4
x-si
n
4
x+2asi
n
2
(
x
2
-
π
4
),x∈[
π
6
,
2π
3
],a∈R
(1)当a=-4时,求函数f(x)的最大值;
(2)设
g(x)=sinx-
3
2
a
,且f(x)≤-ag(x)在
x∈[
π
6
,
2π
3
]
上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=sin
2
x+2sinxcosx+3cos
2
x其中x∈R
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当
x∈[0,
π
2
]
时,求f(x)的值域.
题型:解答题
难度:一般
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在△ABC中,若(a
2
+b
2
)sin(A-B)=(a
2
-b
2
)•sinC,则△ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
题型:解答题
难度:一般
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