已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)请指出函数f(x)的奇偶性,并给予证明;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的取值范围.

已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)请指出函数f(x)的奇偶性,并给予证明;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的取值范围.

题型:闸北区一模难度:来源:
已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx),x∈R.
(1)请指出函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(2)当x∈[0,
π
2
]
时,求f(x)的取值范围.
答案
f(x)=


2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
(3分)
(1)∵f(-
π
8
)=
1
2
≠±


2
+1
2
=±f(
π
8
)
,∴f(x)是非奇非偶函数.    (3分)
注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如∵f(0)=1≠0,∴f(x)不是奇函数.
(2)由x∈[0,
π
2
]
,得
π
4
≤2x+
π
4
4
-


2
2
≤sin(2x+
π
4
)≤1
.     (4分)
所以0≤


2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2


2
+1
2
.即f(x)∈[0,


2
+1
2
]
.          (2分)
举一反三
下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=
π
12
对称的是(  )
A.y=sin(
x
2
+
π
3
)
B.y=sin(
x
2
-
π
3
)
C.y=sin(2x+
π
3
)
D.y=sin(2x-
π
3
)
题型:丰台区二模难度:| 查看答案
若函数f(x)=2sin(
π
6
x+
π
3
)(-2<x<10)的图象与x轴交于点A,过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点,则(


OB
+


OC
)•


OA
=(  )
A.-32B.-16C.16D.32
题型:海口二模难度:| 查看答案
定义
.
a1a2
a3a4
.
=a1a4-a2a3
,若函数f(x)=
.
sin2x    cos2x
1           


3
.
,则将f(x)的图象向右平移
π
3
个单位所得曲线的一条对称轴的方程是(  )
A.x=
π
6
B.x=
π
4
C.x=
π
2
D.x=π
题型:潍坊一模难度:| 查看答案
函数f(x)=sin(x-
π
4
)
(x∈R)的图象的一条对称轴方程是(  )
A.x=0B.x=-
π
4
C.x=
π
4
D.x=
π
2
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在[
π
4
4
]
上的值域.
题型:丰台区一模难度:| 查看答案
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