已知向量a=(-cosx,2sinx2),b=(cosx,2cosx2),f(x)=2-sin2x-14|a-b|2.(1)将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短

已知向量a=(-cosx,2sinx2),b=(cosx,2cosx2),f(x)=2-sin2x-14|a-b|2.(1)将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短

题型:不详难度:来源:
已知向量a=(-cosx,2sin
x
2
),b=(cosx,2cos
x
2
),f(x)=2-sin2x-
1
4
|a-b|2

(1)将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
,纵坐标不变,继而将所得图象上的各点向右平移
π
6
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=2f(A),a=


5
,b=3,求c及cos(2A+
π
4
)
的值.
答案
(1)∵


a
=(-cosx,2sinx)


b
=(2cosx,


3
cosx)



a
-


b
=(-3cosx,2sinx-


3
cosx)

∴f(x)=2-sin2x-
1
4
[4cos2x+4(sin
x
2
-cos
x
2
)2]

=2-sin2x-cos2x-1+sinx=sinx(2分)
由题意,g(x)=sin2(x-
π
6
)
=sin(2x-
π
3
)
(4分)
2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z
解得,kπ-
π
12
≤x≤kπ+
12
,k∈Z
∴g(x)的单调递增区间[kπ-
π
12
,kπ+
12
]
,k∈Z
(2)由f(x)=sinx及f(C)=2f(A)可得sinC=2sinA
由正弦定理可得,c=2a=2


5
(7分)
由余弦定理可得,cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
9+(2


5
)
2
-(


5
)
2
2×3×2


5
=
2


5
5
(8分)
于是cos2A=2cos2A-1=
4
5
-1=
3
5
(9分)
由a<c知A<C,从而0<A<
π
2
,0<2A<π,所以sin2A>0
所以sin2A=


1-cos22A
=
4
5
(10分)
所以cos(2A+
π
4
)=cos2Acos
π
4
-sin2Asin
π
4

=


2
2
×(
3
5
-
4
5
)
=-


2
10
(12分)
举一反三
已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=
13
3
.函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=
π
6
处取得最大值,且最大值为a3,则函数f(x)的解析式为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=4sinx•sin2
π
4
+
x
2
)+cos2x
(1)设ω>0为常数,若y=f(ωx)在区间[-
π
2
3
]上是增函数,求ω的取值范围.
(2)求{m
题型:f(x)-m|<2成立的条件是
π
6
≤x≤
3
,m∈R}.
难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2sinωx在[-
π
4
π
4
]上单调递减,则实数ω的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
将函数y=sinx的图象先向左平移
π
3
个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.所得到的曲线对应的函数解析式是______.
题型:不详难度:| 查看答案
为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,只需把函数y=sin2x-cos2x的图象(  )
A.向左平移
π
4
个长度单位
B.向右平移
π
4
个长度单位
C.向左平移
π
2
个长度单位
D.向右平移
π
2
个长度单位
题型:不详难度:| 查看答案
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