(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式;②由推导两角和的正弦公式(Ⅱ)已知△ABC的面积 S=12, •=3,且 cosB=,求cosC.
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(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式;②由推导两角和的正弦公式(Ⅱ)已知△ABC的面积 S=12, •=3,且 cosB=,求cosC.
题型:不详
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(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式
;②由
推导两角和的正弦公式
(Ⅱ)已知△ABC的面积 S=12,
•
=3,且 cosB=
,求cosC.
答案
(1)见解析;(2)-
.
解析
本试题主要是考查了三角函数关系式的运用,求解向量的数量积以及解三角形的综合运用。
解:法一:按教材证明
法二:①如图,在直角坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P
1
,
终边交⊙O于P
2
;
角β的始边为OP
2
,终边交⊙O于P
3
;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P
4
.
则P
1
(1,0),P
2
(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))
由P
1
P
3
=P
2
P
4
及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]
2
+sin
2
(α+β)=[cos(-β)-cosα]
2
+[sin(-β)-sinα]
2
展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4分)
②由①易得cos( π/2-α)=sinα,sin( π/2-α)=cosα
sin(α+β)="cos[" π/2-(α+β)]=cos[( π/2-α)+(-β)]
=cos( π/2-α)cos(-β)-sin( π/2-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ(6分)
(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=
bcsinA=
•
=bccosA=3>0
∴A∈(0,π),cosA=3sinA
又sin
2
A+cos
2
A=1,∴sinA=
,cosA=
由题意,cosB=
,得sinB=
∴cos(A+B)="cosAcosB-sinAsinB="
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)="-"
(12分)
举一反三
已知函数
f
(
x
)=(1+
)sin
2
x
+
sin(
x
+
)sin(
x
-
).
(1)当
=0时,求
f
(
x
)在区间[
,
]上的取值范围;
(2)当tan
=2时,
f
(
)=
,求
的值.
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设
是以2为周期的奇函数,且
,若
,则
( )
A.
B.3
C.
D.
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已知
,则
=
.
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已知向量
,函数
(1)求函数
的最小正周期
;
(2)将函数
的图像向左平移
上个单位后,再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数
的图像,求函数
的解析式及其对称中心坐标
题型:不详
难度:
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内接于半径为
的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( )
A.
和
B.
和
C.
和
D.以上都不对
题型:不详
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