(1)已知:sinα+sinβ=35cosα+cosβ=45求cos(α-β)的值(2)将(1)中已知条件进行适当改变,能否求出sin(α-β)的值,若能求出其

(1)已知:sinα+sinβ=35cosα+cosβ=45求cos(α-β)的值(2)将(1)中已知条件进行适当改变,能否求出sin(α-β)的值,若能求出其

题型:不详难度:来源:
(1)已知:sinα+sinβ=
3
5
cosα+cosβ=
4
5
求cos(α-β)的值
(2)将(1)中已知条件进行适当改变,能否求出sin(α-β)的值,若能求出其值,若不能请说明理由.
(3)你能依此也创设一道类似题吗?或将本例推广到一般情形.
答案
(1)由题意sinα+sinβ=
3
5
cosα+cosβ=
4
5
,将此两方程平方相加得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1
即2cos(α-β)=-1,解得cos(α-β)=-
1
2

(2)可交换两个方程中角β的函数名且将其中一个方程中的加号改为减号,再平方相加得到sin(α-β)的值
可令sinα+cosβ=
3
5
cosα-sinβ=
4
5

将此两方程平方相加2-2(sinαcosβ-cosαsinβ)=1,即sin(α-β)=-
1
2

(3)由上知,若已知两角正弦的和与余弦的和,可求出两角差的余弦,
若已知两角正弦与余弦的和,两解余弦与正弦的差,可求出两差的正弦.
举一反三
化简sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
题型:不详难度:| 查看答案
已知向量


a
=(cosα,sinα)


b
=(cosβ,sinβ)
|


a
-


b
|=
2


3
3
,则cos(α-β)=______.
题型:不详难度:| 查看答案
解方程:sin2x-
2


3
3
sinxcosx-cos2x=0
题型:不详难度:| 查看答案
sinθ:sin
θ
2
=5:3
,则cosθ=______.
题型:不详难度:| 查看答案
1
2
cosα+


3
2
sinα
可化为(  )
A.sin(
π
6
-α)
B.sin(
π
3
-α)
C.sin(
π
6
+α)
D.sin(
π
3
+α)
题型:怀柔区模拟难度:| 查看答案
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