已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足sinB+sinCsinA=2-cosB-cosCcosA,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π

已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足sinB+sinCsinA=2-cosB-cosCcosA,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π

题型:青岛一模难度:来源:
已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA
,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,
π
3
]
上单调递增,在区间[
π
3
3
]
上单调递减.
(Ⅰ)证明:b+c=2a;
(Ⅱ)若f(
π
9
)=cosA
,证明:△ABC为等边三角形.
答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin(A+B)+sin(A+C)
=2sinA…(3分)
sinC+sinB=2sinA…(5分)
所以b+c=2a…(6分)
(Ⅱ)由题意知:由题意知:
ω
=
3
,解得:ω=
3
2
,…(8分)
因为f(
π
9
)=sin
π
6
=
1
2
=cosA
,A∈(0,π),所以A=
π
3
…(9分)
由余弦定理知:cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
…(10分)
所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a,所以b2+c2-(
b+c
2
)2=bc

即:b2+c2-2bc=0所以b=c…(11分)
A=
π
3
,所以△ABC为等边三角形.…(12分)
举一反三
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列.
(1)若


AB


BC
=-
3
2
,且b=


3
,求a+c的值;
(2)若存在实数m,使得2sinA-sinC=m成立,求实数m的取值范围.
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已知3cos2(π+x)+5(cos
π
2
-x)=1,求6sinx+4tan2x-3cos2(π-x)的值.
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已知α∈(-
π
2
π
2
),β∈(0,π)
,则方程组







3
cos(-α)=-


2
cos(π+β)
sin(3π-α)=


2
cos(
π
2
-β)
的解是:______.
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已知:tan(
π
4
+α)=
1
5
,则
sin2α-sin2α
1-cos2α
的值为______.
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计算:tan20°+2tan50°-tan70°.
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