△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列;(Ⅰ)若sin2B=sinAsinc,试判断△ABC的形状;(Ⅱ)若△ABC为钝角三角形,且a>c,试求代数式sin

△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列;(Ⅰ)若sin2B=sinAsinc,试判断△ABC的形状;(Ⅱ)若△ABC为钝角三角形,且a>c,试求代数式sin

题型:不详难度:来源:
△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列;
(Ⅰ)若sin2B=sinAsinc,试判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若△ABC为钝角三角形,且a>c,试求代数式sin2
C
2
+


3
sin
A
2
COS
A
2
-
1
2
的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵sin2B=sinAsinC,∴b2=ac.
∵A,B,C依次成等差数列,∴2B=A+C=π-B,B=
π
3

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=ac,∴a=c.
∴△ABC为正三角形.
(Ⅱ)sin2
C
2
+


3
sin
A
2
cos
A
2
-
1
2

=
1-cosC
2
+


3
2
sinA-
1
2

=


3
2
sinA-
1
2
cos(
3
-A)

=


3
2
sinA+
1
4
cosA-


3
4
sinA

=


3
4
sinA+
1
4
cosA

=
1
2
sin(A+
π
6
)

π
2
<A<
3
,∴
3
<A+
π
6
6

1
2
<sin(A+
π
6
)<


3
2
1
4
1
2
sin(A+
π
6
)<


3
4

∴代数式sin2
C
2
+


3
sin
A
2
cos
A
2
+
3
2
的取值范围是(
1
4


3
4
)
举一反三
已知sinx=
5
13
,x∈(
π
2
,π),求cos2x和tan(x+
π
4
)值.
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sinα+cosα
sinα-cosα
=2,则sin(α-5π)•sin(
2
-α)等于(  )
A.
3
4
B.
3
10
C.±
3
10
D.-
3
10
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设函数f(x)=sin2x-sin(2x-
π
6
).

(1)求函数f(x)的值域;
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=
1
3
f(
C
2
)=-
1
4
,且C为锐角,求sinA的值.
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若α为第三象限角,且f(α)=
sin(π-α)cos(2π-α)tan(
2
-α)
sin(-π-α)cot(-π-α)

(1)化简f(α);
(2)若α=-
31
3
π
,求f(α);
(3)若cos(α-
2
)=
1
5
,求f(α)的值.
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设cos(α-
β
2
)=-
1
9
,sin(
α
2
-β)=
2
3
,且
π
2
<α<π,0<β<
π
2
,求cos(α+β).
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