(1)已知z为虚数,z+9z-2为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)已知w=z+i(z∈C),且z-2z+2为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最
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(1)已知z为虚数,z+9z-2为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)已知w=z+i(z∈C),且z-2z+2为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最
题型:不详
难度:
来源:
(1)已知z为虚数,
z+
9
z-2
为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z;
(2)已知w=z+i(z∈C),且
z-2
z+2
为纯虚数,求M=|w+1|
2
+|w-1|
2
的最大值及M取最大值时w的值.
答案
(1)z为虚数且z-2为纯虚数,可设z=2+bi(b∈R,b≠0)
又
z+
9
z-2
=2+bi+
9
bi
=2+bi-
9
b
i=2+(b-
9
b
)i为实数,
所以b-
9
b
=0,b=±3
所以z=2±3i.
(2)设z=a+bi(a,b∈R,)
则
z-2
z+2
=
(a-2)+bi
(a+2)+bi
=
(
a
2
+
b
2
-4)+4bi
(a+2)
2
+
b
2
由于
z-2
z+2
为纯虚数,所以
(
a
2
+
b
2
-4)
(a+2)
2
+
b
2
=0
4b
(a+2)
2
+
b
2
≠0
即a
2
+b
2
=4,且b≠0.①
∴M=|w+1|
2
+|w-1|
2
=(a+1)
2
+(b+1)
2
+(a-1)
2
+(b+1)
2
=2(a
2
+b
2
)+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2,2]且b≠0,所以b的最大值为2,从而M的最大值为20.
此时a=0,w=z+i=2i+i=3i.
举一反三
若复数z=(a+i)(2+i)(a∈R)是纯虚数,则实数a的值为( )
A.0.5
B.-1
C.2
D.0
题型:不详
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|
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已知复数z的实部为-1,模为2,则复数z的虚部是______.
题型:不详
难度:
|
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a为实数,
1+2i
a+i
为实数,则a=______.
题型:不详
难度:
|
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已知i是虚数单位,则
i
1-i
的实部与虚部之积为______.
题型:不详
难度:
|
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计算:复数
(
1+i
1-i
)
2009
+(
1-i
1+i
)
2010
(i是虚数单位)的结果为______.
题型:不详
难度:
|
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