设z是虚数,ω=z+1z,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z,求证:u为纯虚数.
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设z是虚数,ω=z+1z,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z,求证:u为纯虚数.
题型:不详
难度:
来源:
设z是虚数,
ω=z+
1
z
,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设
u=
1-z
1+z
,求证:u为纯虚数.
答案
设z=x+yi(x,y∈R,y≠0)
(1)
ω=z+
1
z
=(x+
x
x
2
+
y
2
)+(y-
y
x
2
+
y
2
)i
∵-1<ω<2,∴
y-
y
x
2
+
y
2
=0
,
又∵y≠0,∴x
2
+y
2
=1即|z|=1
∵
-1<x+
x
x
2
+
y
2
<2⇒-1<2x<2
,
∴
-
1
2
<x<1
即z的实部的取值范围是
(-
1
2
,1)
(2)
u=
1-z
1+z
=
(1-x-yi)(1+x-yi)
(1+x)
2
+
y
2
=
(1-
x
2
-
y
2
)-2yi
(1+x)
2
+
y
2
∵x
2
+y
2
=1,∴
u=
-2y
(1+x)
2
+
y
2
i
又∵y≠0,
∴u是纯虚数.
举一反三
若
z=1+
2
i
,则z
2
-2z的值为______.
题型:不详
难度:
|
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计算:
[(1+2i)•
i
2008
+
(
1-i
1+i
)
5
]
2
-(
1+i
2
)
10
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
计算
(
1+i
1-i
)
5
+(3-2i)(4+3i)
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
复数
(1+i)
2
3
-i
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z=______.
题型:上海
难度:
|
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