(本小题15分)在各项为正的数列中,数列的前n项和满足(1) 求;(2) 由(1)猜想数列的通项公式并证明,(3) 求
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(本小题15分)在各项为正的数列中,数列的前n项和满足(1) 求;(2) 由(1)猜想数列的通项公式并证明,(3) 求
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(本小题15分)在各项为正的数列
中,数列的前n项和
满足
(1) 求
;(2) 由(1)猜想数列
的通项公式并证明,(3) 求
答案
解:
(1)a
1
=1,a
2
=
,a
3
=
;
(2)数列{an}的通项公式可能是:an=
,证明见解析。
(3)Sn=
=
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和的关系式的运用,令值的思想得到前几项,然后归纳猜想数列的通项公式,并运用数学归纳法证明,
(1)由题意可知
,那么对于n令值,那么可知a
2
=
a
3
=
(2)根据上一问的结论,数列{a
n
}的通项公式可能是:an=
,然后运用数学归纳法分两步骤证明即可。
(3)因为通项公式累加可以得到前n项和的结论。
解:
(1)S
1
=1/2(a
1
+1/a
1
)
又S
1
=a
1
故1/2(a
1
+1/a
1
)=a
1
即a
1
2
=1 因为a1>0
故a
1
=1
S
2
=1/2(a
2
+1/a
2
)
又S
2
=a
1
+a
2
=1+a
2
故1/2(a
2
+1/a
2
)=1+a
2
(a
2
>0)
解得:a
2
=
同理:a
3
=
(2)从(1)中可看出:数列{an}的通项公式可能是:an=
假设an=
成立
证明:
① 当n=1时,a
n
=1=
假设成立
② 当n=2时,a
n
=
=
假设成立
③ 假设n=i时,假设成立,即
ai=
Si=(
+(
)+(
)+…+(
)=
那么,当n=i+1时
由sn=1/2(a
n
+1/a
n
)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1="Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-"
解得:ai+1=
由①②③可证明假设a
n
=
成立
an通项公式为:a
n
=
(3)Sn=
=
举一反三
设函数
满足
(
n
∈N
*
)且
f
(1) = 2,则
f
(20)为( )
A.95
B.97
C.105
D.192
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对数列
,如果
及
,使
成立,其中
,则称
为
阶递归数列.给出下列三个结论:
① 若
是等比数列,则
为
阶递归数列;
② 若
是等差数列,则
为
阶递归数列;
③ 若数列
的通项公式为
,则
为
阶递归数列.
其中正确结论的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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若数列
,则称数列
为“调和数列”.已知正项数列
为“调和数列”,且
,则
的最大值是( )
A.10
B.100
C.200
D.400
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从
中可得到一般规律为________ (用数学表达式表示)。
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.数列
的前
项和为
,若点
(
)在函数
的反函数的图像上,则
=________.
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