(本题满分12分) 已知数列的前和为,其中且(1)求(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
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(本题满分12分) 已知数列的前和为,其中且(1)求(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分12分)
已知数列
的前
和为
,其中
且
(1)求
(2)猜想数列
的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
答案
解:(1)
又
,则
,类似地求得
(2)由
,
,
…
猜得:
;证明见解析.
解析
本试题主要是考查了数列的归纳猜想的思想的运用,以及运用数学归纳法证明猜想的结论的综合运用。
(1)利用通项公式和前n项和的关系式,对n令值,分别得到前几项。
(2)根据前几项,归纳猜想其通项公式,并运用数学归纳法,分为两步来证明。
解:(1)
又
,则
,类似地求得
(2)由
,
,
…
猜得:
以数学归纳法证明如下:
① 当
时,由(1)可知等式成立;
②假设当
时猜想成立,即
那么,当
时,由题设
得
,
所以
=
=
-
因此,
所以
这就证明了当
时命题成立.
由①、②可知命题对任何
都成立.
举一反三
本题满分14分)
在数列
中,
,且
.
(Ⅰ) 求
,猜想
的表达式,并加以证明;
(Ⅱ) 设
,求证:对任意的自然数
,都有
;
题型:不详
难度:
|
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对于数列
,如果存在一个正整数
,使得对任意的
都有
成立,那么就把这样一类数列
称作周期为
的周期数列,
的最小正值称作数列
的最小正周期,以下简称周期。例如当
时,
是周期为
的周期数列;当
时,
是周期为
的周期数列。设数列
满足
.
(1)若数列
是周期为
的周期数列,则常数
的值是
;
(2)设数列
的前
项和为
,若
,则
.
题型:不详
难度:
|
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若规定一种对应关系
,使其满足:①
且
;
②如果
那么
.若已知
,则
(1)
;
(2)
.
题型:不详
难度:
|
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设数列{
}的前n项和为S
n
(n∈N),关于数列{
}有下列四个命题:
(1)若{
}既是等差数列又是等比数列,则a
n
=a
n
+1
(n∈N
*
);
(2)若S
n
=An
2
+Bn(A,B∈R,A、B为常数),则{
}是等差数列;
(3)若S
n
=1-(-1)
n
,则{
}是等比数列;
(4)若{
}是等比数列,则S
m
,S
2m
-S
m
,S
3m
-S
2m
(m∈N
*
)也成等比数列;其中正确的命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
题型:不详
难度:
|
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斐波那契数列
满足:
,则
=( )
A.34
B.55
C.89
D.144
题型:不详
难度:
|
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