本题满分14分)在数列中,,且.(Ⅰ) 求,猜想的表达式,并加以证明;(Ⅱ) 设,求证:对任意的自然数,都有;

本题满分14分)在数列中,,且.(Ⅰ) 求,猜想的表达式,并加以证明;(Ⅱ) 设,求证:对任意的自然数,都有;

题型:不详难度:来源:
本题满分14分)
在数列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表达式,并加以证明;
(Ⅱ) 设,求证:对任意的自然数,都有
答案

解:(1)容易求得:
猜想 证明:见解析.
(2)见解析.
解析
本试题主要是考查了数列的归纳猜想的思想的运用,以及运用哦递推关系式来求解数列的前几项,并且能运用数学归纳法加以证明,同时对于构造的新数列也能利用裂项法求和的综合运用。
(1)利用递推关系,对于n赋值分别得到前几项,并猜想其通项公式,运用数学归纳法加以证明
(2)根据上一问的结论,表示新数列的通项公式,然后利用裂项的思想求和并证明不等式问题。
解:(1)容易求得:----------------------(2分)
故可以猜想 下面利用数学归纳法加以证明:
(i)          显然当时,结论成立,-----------------(3分)
(ii)        假设当时(也可以),结论也成立,即
--------------------------(4分)
那么当时,由题设与归纳假设可知:
------------(6分)
即当时,结论也成立,综上,对,成立。--------(7分)
(2)---(9分)
所以
---------(11分)
所以只需要证明
(显然成立)
所以对任意的自然数,都有-------(14分)
举一反三
对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小正值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当时,是周期为的周期数列;当时,是周期为的周期数列。设数列满足.
(1)若数列是周期为的周期数列,则常数的值是       
(2)设数列的前项和为,若,则         .
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若规定一种对应关系,使其满足:①
②如果那么.若已知,则
(1)                 
(2)                 
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设数列{}的前n项和为Sn(n∈N),关于数列{}有下列四个命题:
(1)若{}既是等差数列又是等比数列,则an=an+1(n∈N*);
(2)若Sn=An2+Bn(A,B∈R,A、B为常数),则{}是等差数列;
(3)若Sn=1-(-1)n,则{}是等比数列;
(4)若{}是等比数列,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)也成等比数列;其中正确的命题的个数是
A.4              B.3             C.2              D.1
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斐波那契数列满足:,则=(  )
A.34B.55C.89D.144

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如果一个数列从第二项起每一项与前一项的和是同一个常数,则此数列叫等和数列,这个常数叫公和。若数列是等和数列,=3,公和是5,则此数列的前805项的和为          .
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