已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1),(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=Sn2n,如果对一切正整数n都有bn≤t,求t
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已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1),(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=Sn2n,如果对一切正整数n都有bn≤t,求t
题型:不详
难度:
来源:
已知数列a
n
的前n项和为S
n
,a
1
=2,na
n+1
=S
n
+n(n+1),
(1)求数列a
n
的通项公式;
(2)设
b
n
=
S
n
2
n
,如果对一切正整数n都有b
n
≤t,求t的最小值.
答案
(1)∵na
n+1
=S
n
+n(n+1)
∴(n-1)a
n
=S
n-1
+n(n-1)(n≥2)
两式相减可得,na
n+1
-(n-1)a
n
=S
n
-S
n-1
+2n
即na
n+1
-(n-1)a
n
=a
n
+2n,(n≥2)
整理可得,a
n+1
=a
n
+2(n≥2)(*)
由a
1
=2,可得a
2
=S
1
+2=4,a
2
-a
1
=2适合(*)
故数列{a
n
}是以2为首项,以2为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得,a
n
=2+(n-1)×2=2n
(2)由(1)可得,S
n
=n(n+1),
∴
b
n
=
S
n
2
n
=
n(n+1)
2
n
由数列的单调性可知,b
k
≥b
k+1
,b
k
≥b
k-1
k(k+1)
2
k
≥
(k+2)(k+1)
2
k+1
k(k+1)
2
k
≥
k(k-1)
2
k-1
解不等式可得2≤k≤3,k∈N
*
,k=2,或k=3,
b
2
=b
3
=
3
2
为数列{b
n
}的最大项
由b
n
≤t恒成立可得
t≥
3
2
,则t的最小值
3
2
举一反三
已知数列
3
,3,
15
,…,
3(2n-1)
,那么
5
3
是数列的( )
A.第12项
B.第13项
C.第14项
D.第15项
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}对所有正整数n满足a
n
<a
n+1
,且a
n
=2n
2
+pn,则实数p的取值范围是( )
A.(-∞,-6)
B.(-6,+∞)
C.(-∞,6)
D.(6,+∞)
题型:嘉定区二模
难度:
|
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已知数列20,11,2,-7,…请写出它的一个通项公式:______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列的
S
n
=
n
2
+1
,则a
8
+a
9
+a
10
+a
11
+a
12
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2x-a(a∈N
*
、x∈R),数列a
n
满足a
1
=-a,a
n+1
-a
n
=f(n).
(1)求数列a
n
的通项公式;
(2)当a
5
与a
6
这两项中至少有一项为a
n
中的最小项时,求a的值;
(3)若数列b
n
满足对∀n∈N
*
,都有b
1
+2b
2
+2
2
b
3
+…+2
n-1
b
n
=a
n+1
成立,求数列{b
n
}中的最大项.
题型:不详
难度:
|
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