设数列{an}的首项a1∈(0,1),an+1=3-an2(n∈N+)(I)求{an}的通项公式;(II)设bn=an3-2an,判断数列{bn}的单调性,并证
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设数列{an}的首项a1∈(0,1),an+1=3-an2(n∈N+)(I)求{an}的通项公式;(II)设bn=an3-2an,判断数列{bn}的单调性,并证
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的首项a
1
∈(0,1),a
n+1
=
3-
a
n
2
(n∈N
+
)
(I)求{a
n
}的通项公式;
(II)设b
n
=a
n
3-2
a
n
,判断数列{b
n
}的单调性,并证明你的结论.
答案
(Ⅰ) 已知a
n+1
=
3-
a
n
2
(n∈N
+
),递推公式两边同减去1得出,
a
n+1
-1=
1-
a
n
2
=-
1
2
(
a
n
-1)
,
故{a
n
-1}为等比数列,且首项为a
1
-1,公比为
-
1
2
,
根据等比数列通项公式可得{a
n
-1} 的通项公式为
a
n
-1=(
a
1
-1)
(-
1
2
)
n-1
∴{a
n
}的通项公式为
a
n
=1+(
a
1
-1)(-
1
2
)
n-1
(Ⅱ)是递增数列.
证明如下:
∵0<a
1
<1,
∴-1<a
1
-1<0,
又当n≥2时,
(-
1
2
)
n-1
>
-
1
2
根据不等式的性质得出
0<
(
a
1
-1)
(-
1
2
)
n-1
<
1
2
∴
a
n
∈(0,1)∪(1,
3
2
)
.
⇒
b
n
=
a
n
3-2
a
n
>0
∴b
n+1
2
-b
n
2
=a
n+1
2
(3-2a
n+1
)-a
n
2
(3-2a
n
)
=
(
3-
a
n
2
)
2
a
n
-
a
2n
(3-2
a
n
)=
9
4
a
n
(
a
n
-1
)
2
>0
∴b
n+1
2
>b
n
2
⇒b
n+1
>b
n
.
故{b
n
}为递增数列.
举一反三
已知
a
n
=
n-
79
n-
80
(n∈
N
*
),则在数列{
a
n
}
的前50项中最小项和最大项分别是( )
A.a
8
,a
9
B.a
9
,a
50
C.a
1
,a
8
D.a
1
,a
50
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
},
a
1
=-
1
4
,
a
n
=1-
1
a
n-1
(n>1)
,则a
31
=( )
A.
-
1
4
B.5
C.
4
5
D.
3
5
题型:不详
难度:
|
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数列1,3,6,10,15…的一个通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
2
n
2
+n
,那么
1
10
是它的( )
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D.第7项
题型:不详
难度:
|
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给定有限单调递增数列{x
n
}(n∈N
*
,n≥2)且x
i
≠0(1≤i≤n),定义集合A={(x
i
,x
j
)|1≤i,j≤n,且i,j∈N
*
}.若对任意点A
1
∈A,存在点A
2
∈A使得OA
1
⊥OA
2
(O为坐标原点),则称数列{x
n
}具有性质P.
(I)判断数列{x
n
}:-2,2和数列{y
n
}:-2,-l,1,3是否具有性质P,简述理由.
(II)若数列{x
n
}具有性质P,求证:
①数列{x
n
}中一定存在两项x
i
,x
j
使得x
i
+x
j
=0:
②若x
1
=-1,x
n
>0且x
n
>1,则x
2
=l.
题型:石景山区一模
难度:
|
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