给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存
题型:石景山区一模难度:来源:
给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P. (I)判断数列{xn}:-2,2和数列{yn}:-2,-l,1,3是否具有性质P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj=0: ②若x1=-1,xn>0且xn>1,则x2=l. |
答案
(Ⅰ)数列{xn}具有性质P,数列{yn}不具有性质P. 对于数列{xn},若A1(-2,2),则A2(2,2);若A1(-2,-2),则A2(2,-2),∴具有性质P; 对于数列{yn},当A1(-2,3),若存在A2(x,y)满足OA1⊥OA2,即-2x+3y=0,=,数列{yn}中不存在这样的数x、y, ∴不具有性质P. (II)证明:①取A1(xk,xk),∵数列{xn}具有性质P,∴存在点A2(xi,xj)使得OA1⊥OA2,即xkxi+xkxj=0, ∵xk≠0,∴xi+xj=0. ②由①知,数列{xn}中一定存在两项xi,xj,使得xi+xj=0. 又数列是单调递增数列且x2>0,∴1为数列中的一项, 假设x2≠1,则存在k(2<k<n,k∈N*),有xk=1,∴0<x2<1, 此时取A1(x2,xn),数列{xn}具有性质P, ∴存在点A2(xt,xs)使得OA1⊥OA2, ∴x2xt+xnxs=0 所以xt=-1时,x2=xnxs>xs≥x2,矛盾;xs=-1时,x2=≥1,矛盾,所以x2=1. |
举一反三
已知an+1-an-2=0,则数列{an}是( ) |
若数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a3+a4+a5+a6=______. |
首项为正数的数列{an}满足an+1=(an2+3),n∈N+. (1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数; (2)若对一切n∈N+都有an+1>an,求a1的取值范围. |
已知数列{an}中各项是从1、0、-1这三个整数中取值的数列,Sn为其前n项和,定义bn=(an+1)2,且数列{bn}的前n项和为Tn,若S50=9,T50=107,则数列{an}的前50项中0的个数为______. |
在数列{an}中,如果an=41-2n(n∈N*),那么使这个数列的前n项和Sn取得最大值时n的值为( ) |
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