首项为正数的数列{an}满足an+1=14（an2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有an+1＞

题型：不详难度：来源：

首项为正数的数列{a_n}满足a_n+1=

1

4

（a_n²+3），n∈N₊．
（1）证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（2）若对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围．

答案

（1）证明：已知a₁是奇数，假设a_k=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a_k+1=

a 2n +3

4

=m（m-1）+1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n≥2，a_n都是奇数．
（2）法一：由a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3）知，a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，则0＜a_k+1＜

1+3

4

=1；
若a_k＞3，则a_k+1＞

32+3

4

=3．
根据数学归纳法得，0＜a₁＜1⇔0＜a_n＜1，∀n∈N₊；
a₁＞3⇔a_n＞3，∀n∈N₊．
综上所述，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．
法二：由a₂=

a 21 +3

4

＞a₁，得a₁²-4a₁+3＞0，于是0＜a₁＜1或a₁＞3．
a_n+1-a_n=

a 2n +3

4

-

a 2n-1 +3

4

=

(an+an-1)(an-an-1)

4

，
因为a₁＞0，a_n+1=

a 2n +3

4

，所以所有的a_n均大于0，
因此a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．
根据数学归纳法，∀n∈N₊，a_n+1-a_n与a₂-a₁同号．
因此，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．