若数列An=a1,a2,…,an(n≥2)满足|an+1-a1|=1(k=1,2,…,n-1),数列An为E数列,记S(An)=a1+a2+…+an, (Ⅰ)写
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若数列An=a1,a2,…,an(n≥2)满足|an+1-a1|=1(k=1,2,…,n-1),数列An为E数列,记S(An)=a1+a2+…+an, (Ⅰ)写出一个满足a1=a5=0,且S(A5)>0的E数列An; (Ⅱ)若a1=12,n=2000,证明:E数列An是递增数列的充要条件是an=2011; (Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列An,使得S(An)=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列An;如果不存在,说明理由。 |
答案
解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5) (Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,所以, 所以A5是首项为12,公差为1的等差数列, 所以a2000=12+(2000-1)×1=2011; 充分性,由于a2000-a1999≤1, a1999-a1998≤1, …… a2-a1≤1, 所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999, 又因为a1=12,a2000=2011, 所以a2000=a1+1999, 故,即An是递增数列; 综上,结论得证。 (Ⅲ)令,则, 因为, ……, , 所以
因为,所以1-ck为偶数(k=1,…,n-1), 所以为偶数, 所以要使,必须使为偶数, 即4整除n(n-1),亦即n=4m或n=4m+1(m∈N*), 当n=4m+1(m∈N*)时,E数列An的项满足, 时,有; 时,有; 当n=4m+1(m∈N*)时,E数列An的项满足,; 当n=4m+2或n=4m+3(m∈N)时,n(m-1)不能被4整除, 此时不存在E数列An,使得。 |
举一反三
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