(1)在Sn=-an-n-1+2中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1=, 当n≥2时,Sn-1=-an-1-n-2+2, 所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1, 所以2an=an-1+n-1,即2nan=2n-1an-1+1. 因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1. 又b1=2a1=1,所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 于是bn=1+(n-1)·1=n=2nan, 所以an=(n∈N*). (2)由(1)得cn=an=(n+1)n, 所以Tn=2×+3×2+4×3+…+(n+1)n,① Tn=2×2+3×3+4×4+…+(n+1)n+1.② 由①-②得Tn=1+2+3+…+n-(n+1)n+1 =1+-(n+1)n+1 =-, 所以Tn=3-, Tn-=3-- =, 于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小, 由2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1;24>2×4+1;25>2×5+1;… 可猜想当n≥3时,2n>2n+1,证明如下: 方法一:①当n=3时,对上式验算显示成立. ②假设当n=k时成立,则n=k+1(k≥2)时, 2k+1=2·2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1, 所以当n=k+1时猜想也成立. 综合①②可知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1. 方法二:当n≥3时, 2n=(1+1)n=+++…++≥+++=2n+2>2n+1, 综上所述,当n≥3时,Tn>. (3)因为cn=3n+=3n+(-1)n-1λ·2n, 所以cn+1-cn=[3n+1+(-1)nλ·2n+1]-[3n+(-1)n-1λ·2n] =2·3n-3λ(-1)n-1·2n>0, 所以(-1)n-1·λ<n-1.① 当n=2k-1(k=1,2,3,…)时,①式即为λ<2k-2,② 依题意,②式对k=1,2,3,…都成立,所以λ<1, 当n=2k,k=1,2,3,…时,①式即为λ>-2k-1,③ 依题意,③式对k=1,2,3,…都成立, 所以λ>-,所以-<λ<1,又λ≠0, 所以存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*有cn+1>cn. |