试题分析:本题主要考查数列的通项公式、递推公式、裂项相消法、数学归纳法、错位相减法等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力,转化能力和计算能力.第一问,用n-1代替 中的n,得到一个等式,2个等式相减,得到 ,分n为奇数偶数进行讨论,分别求出 的通项公式,由于得到的式子相同,所以 的通项公式就是 ;第二问,要求数列 的前n项和,关键是需要求出 的通项公式,可以利用已知的递推公式进行推导,也可以利用数学归纳法猜想证明,得到 的通项公式后,代入到 中,得到 的通项公式,最后用错位相减法进行求和;第三问,先用放缩法对原式进行变形,再用裂项相消法求和,最后和 作比较. 试题解析:(1)由已知 得 , , , 由题意 ,即 ,当n为奇数时, ;当n为偶数时, . 所以 .4分 (2)解法一:由已知,对 有 , 两边同除以 ,得 ,即 , 于是, = = , 即 , ,所以 = ,
, ,又 时也成立,故 , . 所以 , 8分 解法二:也可以归纳、猜想得出 ,然后用数学归纳法证明. (3)当 ,有 , 所以 时,有
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