在数列中,且对任意的成等比数列,其公比为,(1)若;(2)若对任意的成等差数列,其公差为.①求证:成等差数列,并指出其公差;②若,试求数列的前项和.

在数列中,且对任意的成等比数列,其公比为,(1)若;(2)若对任意的成等差数列,其公差为.①求证:成等差数列,并指出其公差;②若,试求数列的前项和.

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在数列中,且对任意的成等比数列,其公比为
(1)若
(2)若对任意的成等差数列,其公差为
①求证:成等差数列,并指出其公差;
②若,试求数列的前项和
答案
(1);(2)①;②
解析

试题分析:(1)由于,因此成等比数列,且公比为4,故和易求;(2)①要证明是等差数列,就是要证明为常数,也就是要找到的关系,我们从唯一的已知条件有,这就是变形为由此就证得;②求数列的前项和,必须先求出通项,而,因此又应该求出,这时我们来看看已知可得出什么?由,解得:,从而可求得,于是可通过是公差为1的等差数列,求出,下面我们想办法通过联系起来,,于是
,而再用可得出,所以,那么可求.
试题解析:(1)因为,所以(1分)
是首项为1,公比为4的等比数列,
所以(4分)
(2)①因为成等差数列,所以
所以(6分)

所以所以是等差数列,且公差是等差数列,且公差为1. (9分)
②因为所以则由,解得:
(11分)
(i) 当时,,所以,则,得,所以

所以(13分)
,故;(14分)
(ii)当时,,所以,则,得,(15分)

所以(17分)
,故(18分)
综上所述,
举一反三
在等比数列中,,则数列的通项公式_____________,设,则数列的前项和_____________.
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对于数列,把作为新数列的第一项,把)作为新数列的第项,数列称为数列的一个生成数列.例如,数列的一个生成数列是.已知数列为数列的生成数列,为数列的前项和.
(1)写出的所有可能值;
(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;
(3)证明:对于给定的的所有可能值组成的集合为
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在等差数列中,已知,则该数列前11项和(  )
A.58B.88C.143D.176

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已知成等差数列,成等比数列,那么的值为(  )
A.B.5或C.D.

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已知等比数列的前项和为,且满足成等差数列,则等于(  )
A.B.C.D.

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