正项数列{an}的前项和满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:
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正项数列{an}的前项和满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:
题型:不详
难度:
来源:
正项数列{a
n
}的前项和满足:
-(n
2
+n-1)S
n
-(n
2
+n)=0.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)令b
n
=
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
.证明:对于任意的n∈N
*
,都有T
n
<
.
答案
(1)a
n
=2n(2)见解析
解析
(1)解:由
-(n
2
+n-1)S
n
-(n
2
+n)=0,
得[S
n
-(n
2
+n)](S
n
+1)=0.
由于{a
n
}是正项数列,所以S
n
>0,S
n
=n
2
+n.
于是a
1
=S
1
=2,n≥2时,a
n
=S
n
-S
n
-1
=n
2
+n-(n-1)
2
-(n-1)=2n.
综上,数列{a
n
}的通项a
n
=2n.
(2)证明:由于a
n
=2n,b
n
=
,则b
n
=
.
T
n
=
=
=
.
故对于任意的n∈N
*
,都有T
n
<
.
举一反三
已知{a
n
}是等差数列,a
1
=1,公差d≠0,S
n
为其前n项和.若a
1
,a
2
,a
5
成等比数列,则S
8
=________.
题型:不详
难度:
|
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若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S
n
=________.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,已知a
1
=2,a
2
=3,当n≥2时,a
n
+1
是a
n
·a
n
-1
的个位数,则a
2010
=________.
题型:不详
难度:
|
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设不等式组
所表示的平面区域为D
n
,记D
n
内的整点个数为a
n
(n∈N
*
)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且T
n
=
.若对于一切的正整数n,总有T
n
≤m,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知正项数列
,其前
项和
满足
且
是
和
的等比中项..
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前99项和.
题型:不详
难度:
|
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