已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn为数列{an}的前n项和.(1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立,求数列{an}的
题型:不详难度:来源:
已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn为数列{an}的前n项和. (1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立,求数列{an}的通项公式; (2)对任意正整数n,从集合{a1,a2,…,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与a1,a2,…,an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合. (ⅰ)求a1,a2的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式. |
答案
(1)an=1或an=2n-1(2)a1=1,a2=3,an=3n-1 |
解析
(1)设无穷等差数列{an}的公差为d,因为Sn3=(Sn)3对任意正整数n都成立,所以分别取n=1,n=2时,则有: 因为数列{an}的各项均为正整数,所以d≥0. 可得a1=1,d=0或d=2.(4分) 当a1=1,d=0时,an=1,Sn3=(Sn)3成立; 当a1=1,d=2时,Sn=n2,所以Sn3=(Sn)3. 因此,共有2个无穷等差数列满足条件,通项公式为an=1或an=2n-1.(6分) (2)(ⅰ)记An={1,2,…,Sn},显然a1=S1=1.(7分) 对于S2=a1+a2=1+a2,有A2={1,2,…,Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4}, 故1+a2=4,所以a2=3.(9分) (ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,…,an}按上述规则,共产生Sn个正整数.(10分) 而集合{a1,a2,…,an,an+1}按上述规则产生的Sn+1个正整数中,除1,2,…,Sn这Sn个正整数外,还有an-1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,…,Sn),共2Sn+1个数. 所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.(12分) 又Sn+1+=3 ,所以Sn=·3n-1-=·3n-.(14分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=·3n--=3n-1.(15分) 而a1=1也满足an=3n-1. 所以,数列{an}的通项公式是an=3n-1.(16分) |
举一反三
设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=________. |
设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=________. |
设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于________. |
在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大的负数为前______项的和. |
知数列{an}是首项为,公比为的等比数列,设bn+15log3an=t,常数t∈N*. (1)求证:{bn}为等差数列; (2)设数列{cn}满足cn=anbn,是否存在正整数k,使ck,ck+1,ck+2按某种次序排列后成等比数列?若存在,求k,t的值;若不存在,请说明理由. |
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