在等差数列和等比数列中,,,是前项和.(1)若,求实数的值;(2)是否存在正整数,使得数列的所有项都在数列中?若存在,求出所有的,若不存在,说明理由;(3)是否

在等差数列和等比数列中,,,是前项和.(1)若,求实数的值;(2)是否存在正整数,使得数列的所有项都在数列中?若存在,求出所有的,若不存在,说明理由;(3)是否

题型:不详难度:来源:
在等差数列和等比数列中,项和.
(1)若,求实数的值;
(2)是否存在正整数,使得数列的所有项都在数列中?若存在,求出所有的,若不存在,说明理由;
(3)是否存在正实数,使得数列中至少有三项在数列中,但中的项不都在数列中?若存在,求出一个可能的的值,若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2)存在,;(3)存在,(答案不唯一).
解析

试题分析:(1)数列是等比数列,其前和的极限存在,因此有公式满足,且极限为;(2)由于是正整数,因此可对按奇偶来分类讨论,因此当为奇数时,等比数列的公比不是整数,是分数,从而数列从第三项开始每一项都不是整数,都不在数列中,而当为偶数时,数列的所有项都在中,设,则展开有
,这里用到了二项式定理,,结论为真;(3)存在时只要找一个,首先不能为整数,下面我们只要写两数列的通项公式,让,取特殊值求出,如取,可得,此时在数列中,由于是无理数,会发现数列除第一项以外都是无理数,而是整数,不在数列中,命题得证,(如取其它的又可得到另外的值).
试题解析:(1)对等比数列,公比
因为,所以.     2分
解方程,      4分

因为,所以.     6分
(2)当取偶数时,中所有项都是中的项.        8分
证: 由题意:均在数列中,
时,
 
说明的第n项是中的第项.        10分
取奇数时,因为不是整数,
所以数列的所有项都不在数列中。    12分
综上,所有的符合题意的
(3)由题意,因为中,所以中至少存在一项中,另一项不在中。                    14分

,即.
4,得(舍负值)。此时。           16分
时,,对任意.    18分
综上,取
(此问答案不唯一,请参照给分)
举一反三
设无穷数列的首项,前项和为),且点在直线上(为与无关的正实数).
(1)求证:数列)为等比数列;
(2)记数列的公比为,数列满足,设,求数列的前项和
(3)(理)若(1)中无穷等比数列)的各项和存在,记,求函数的值域.
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已知数列 (n)的公差为3,从中取出部分项(不改变顺序)a1,a4,a10,…组成等比数列,则该等比数列的公比是     
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设无穷数列的首项,前项和为),且点在直线上(为与无关的正实数).
(1)求证:数列)为等比数列;
(2)记数列的公比为,数列满足,设,求数列的前项和
(3)若(2)中数列{Cn}的前n项和Tn时不等式恒成立,求实数a的取值范围。
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已知等差数列的前项和为,且满足:
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的最小项是第几项,并求出该项的值.
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已知数列满足:当)时,是数列 的前项和,定义集合的整数倍,,且表示集合中元素的个数,则            
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