已知数列中,,,.(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)在数列中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由

已知数列中,,,.(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)在数列中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由

题型:不详难度:来源:
已知数列中,.
(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)在数列中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由;
(3)若,求证:使得成等差数列的点列在某一直线上.
答案
(1)详见解析;(2)成等差数列;(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)证明一个数列为等比或等差数列,一般都是从定义入手,本小题首先需要将已知条件变形为,由于,则(常数),然后根据等比数列的定义可知数列是以为首项,公比为的等比数列,即);
(2)本小题首先假设在数列中存在连续三项)成等差数列,则,代入通项公式可得,即成等差数列.
(3)本小题首先根据成等差数列,则,于是可得,然后通过不定方程的分类讨论可得结论
试题解析:(1)将已知条件变形为  1分
由于,则(常数)  3分
即数列是以为首项,公比为的等比数列  4分
所以,即)。  5分
(2)假设在数列中存在连续三项成等差数列,
不妨设连续的三项依次为),
由题意得,
代入上式得  7分
      8分
化简得,,即,得,解得
所以,存在满足条件的连续三项为成等差数列。  10分
(3)若成等差数列,则
,变形得  11分
由于若,下面对进行讨论:
① 若均为偶数,则,解得,与矛盾,舍去;
② 若为奇数,为偶数,则,解得
③ 若为偶数,为奇数,则,解得,与矛盾,舍去;
④ 若均为奇数,则,解得,与矛盾,舍去;  15分
综上①②③④可知,只有当为奇数,为偶数时,成等差数列,此时满足条
件点列落在直线(其中为正奇数)上。  16分(不写出直线方程扣1分)
举一反三
在等差数列中,中若为前项之和,且,则为最小时的的值为        .
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已知数列具有性质:①为正数;②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若成等差数列,求的值;
(3)设,数列的前项和为,求证:
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,则 ___________ 
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在等差数列中,,若此数列的前10项和,前18项和,则数列的前18项和___________.
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已知数列的前项和为,且,数列满足,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
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