已知数列具有性质:①为正数;②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,(1)若,求数列的通项公式;(2)若成等差数列,求的值;(3)设,数列的前项和为,求证
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已知数列具有性质:①为正数;②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,(1)若,求数列的通项公式;(2)若成等差数列,求的值;(3)设,数列的前项和为,求证
题型:不详
难度:
来源:
已知数列
具有性质:①
为正数;②对于任意的正整数
,当
为偶数时,
;当
为奇数时,
(1)若
,求数列
的通项公式;
(2)若
成等差数列,求
的值;
(3)设
,数列
的前
项和为
,求证:
答案
(1)
;(2) 2;(3)证明见试题解析.
解析
试题分析:(1)由于64不算大,可以依次计算出
,因为按照定义
,
,而此开始
,故可得出
通项公式;(2)显然
必须是整数,而且要计算
,因此我们可以根据
的值分类讨论(分成四类
).(3)
要证不等式
,最好能求出
,那么也就要求出数列
的各项,那么我们根据数列
定义,由
为奇数,则
为偶数,
为奇数,接下来各项都是偶数,一起到某项为1,下面一项为0,以后全部为0.实际上项为1的项是第
项,且
时
,
时
,因此
是最大的,但在计算
时,要注意当
时,
,只要它不为0,就可继续下去.
试题解析:(1)由
,可得
,
,…,
,
,
,
,…,
即
的前7项成等比数列,从第8起数列的项均为0. (2分)
故数列
的通项公式为
. (4分)
(2)若
时,
,
,
由
成等差数列,可知即
,解得
,故
;(舍去)
若
时,
,
,
由
成等差数列,可知
,解得
,故
;(舍去)(3分)
若
时,
,
,
由
成等差数列,可知
,解得
,故
;
若
时,
,
,
由
成等差数列,可知
,解得
,故
;(舍去)
∴
的值为2. (6分)
(3)由
(
),可得
,
,
,
若
,则
是奇数,从而
,
可得当
时,
成立. (3分)
又
,
,…
故当
时,
;当
时,
. (5分)
故对于给定的
,
的最大值为
,
故
. (8分)
项和与最大值.
举一反三
若
,则
___________
.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,
,
,若此数列的前10项和
,前18项和
,则数列
的前18项和
___________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列
的前
项和为
,且
,数列
满足
,且
.
(Ⅰ)求数列
、
的通项公式;
(Ⅱ)设
,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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设正数数列
的前
项和是
,若
和{
}都是等差数列,且公差相等,则
___.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,记
,若
是递减数列,则实数
的取值范围是______________.
题型:不详
难度:
|
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