设数列,,若以为系数的二次方程:都有根满足.(1)求证:为等比数列(2)求.(3)求的前项和.

设数列,,若以为系数的二次方程:都有根满足.(1)求证:为等比数列(2)求.(3)求的前项和.

题型:不详难度:来源:
设数列,若以为系数的二次方程:都有根满足.
(1)求证:为等比数列
(2)求.
(3)求的前项和.
答案
(1)证明过程详见解析;(2);(3).
解析

试题分析:本题考查等差数列等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.第一问,利用根与系数关系,得到两根之和、两根之积,代入到中,得到的关系式,再用配凑法,凑出一个新的等比数列;第二问,利用第一问的结论,先求出新数列的通项公式,再求;第三问,用分组求和的方法,分别是等比数列和等差数列,直接用前n项和公式求和即可.
试题解析:(1)∵都有根满足





,而
是以为首项,以为公比的等比数列.
(2)∵,∴.
(3)



.
举一反三
数列的前项和为,若,点在直线上.
⑴求证:数列是等差数列;
⑵若数列满足,求数列的前项和
⑶设,求证:
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在等差数列中,,则公差等于(  )
A.1B.C.2D.-2

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数列满足并且,则数列的第100项为(   )
A.B.C.D.

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已知为等差数列,,则                       .
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已知,各项均为正数的数列满足,若,则     .
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