试题分析:(1)由 可令n=1,n=2得到关于a1与d的两个方程,从而可解出a1和d,得到an的通项公式.因为 ,所以 显然要采用裂项求和的方法求出其前n项和. (2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题,应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集. (3)解本小题的关键由 , 若 成等比数列,则 ,即 . 从而得 ,据此得到m的范围,找到m的值,进一步得到n的值. 解:(1)在 中,令 , , 得 即 ……1分 解得 , , ……2分 又 时, 满足 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191010/20191010051101-17880.png)
, ……3分
. ……4分 (2)①当 为偶数时,要使不等式 恒成立,即需不等式 恒成立. ……5分
,等号在 时取得
此时 需满足 ……6分 ②当 为奇数时,要使不等式 恒成立,即需不等式 恒成立. ……7分
是随 的增大而增大, 时 取得最小值 .
此时 需满足 . ……8分 综合①、②可得 的取值范围是 . ……9分 (3) , 若 成等比数列,则 ,……10分 即 . 由 ,可得 , ……12分 即 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191010/20191010051104-21021.png) . ……13分 又 ,且 ,所以 ,此时 . 因此,当且仅当 , 时,数列 中的 成等比数列. …14分 [另解] 因为 ,故 ,即 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191010/20191010051104-21021.png) . 点评:(1)由an与Sn的关系求通项要注意根据需要给n赋值,每赋一个值就可得到一个方程. (2)有关n的不等式恒成立问题,要注意题目当中如果有 要注意按n为奇偶进行讨论. (3)解小题的关键是利用 成等比数列,建立n与m的等式关系,下一步难点在于对式子的变形处理上,要注意体会其方法. |