已知数列满足:1)求的值;  2)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;3)设若恒成立,求实数的取值范围.

已知数列满足:1)求的值;  2)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;3)设若恒成立,求实数的取值范围.

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已知数列满足:
1)求的值;  2)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
3)设恒成立,求实数的取值范围.
答案
解:(1)   ∵     ∴            
(2)  ;  (3) .   
解析
第一问中,利用,递推关系得到,
     ∴ 
第二问中,∵ ∴
∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列。∴
第三问中,                                    ……………8分   


 
由条件可知恒成立即可满足条件
解:(1)
     ∴              ……………3分
(2)∵ ∴
∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列。      ……………5分
    ∴   ……………7分
(3)                                    ……………8分

                                      ……………9分
          ……………10分
由条件可知恒成立即可满足条件
                         ……………11分
时,恒成立, ∴可取;
时,由二次函数的性质知不可能成立;∴不可取;
时,对称轴             
为单调递减函数. 故只要即可,

得     ∴恒成立               ……………13分
综上知:实数的取值范围为.                     ……………14分
举一反三
已知等差数列的前n项和分别为,若,且是整数,则的值为     
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(本题满分16分)
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1, 
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
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(本题满分14分) 设公比为正数的等比数列的前项和为,已知,数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在,使得是数列中的项?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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(本小题满分16分)
设数列的前项和为,已知).
(1)求的值;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)抽去数列中的第1项,第4项,第7项,……,第项,……,余下的项顺序不变,组成一个新数列,若的前项的和为,求证:
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(12分)
已知数列{an}满足a1=,且前n项和Sn满足:Sn=n2an,求a2,a3,a4,猜想{an}的通项公式,并加以证明。
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