已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于,总有成等差数列.(I )求数列{an}的通项an;(II)设数列的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为
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已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于,总有成等差数列.(I )求数列{an}的通项an;(II)设数列的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}各项均为正数,S
n
为其前n项和,对于
,总有
成等差数列.
(I )求数列{a
n
}的通项a
n
;
(II)设数列
的前n项和为T
n
,数列{T
n
}的前n项和为R
n
,求证:
时,
;
(III)对任意
,试比较
与
的大小
答案
(I)a
n
=1+(n-1)·1="n" (n∈N
*
).(2)略 (3)
解析
(I )由条件得
,递写相减得a
n+1
-a
n
=1,由等差数列求得通项;(II)求出两边表达式证明相等;(III)数学归纳法或不等式证明。
解:(I)由题意,得
(n∈N*).
于是
,
两式相减,得
,
即a
n+1
+a
n
=(a
n+1
+a
n
)(a
n+1
-a
n
),
由题,a
n
>0,a
n+1
+a
n
≠0,
得a
n+1
-a
n
=1,即{a
n
}为公差为1的等差数列.
又由
,得a
1
=1或a
1
=0(舍去).
∴ a
n
=1+(n-1)·1="n" (n∈N
*
).……………………………………………5分
(II)证法一:由(I)知
,于是
,
于是当n≥2时,
=
=
=
=
=n(T
n
-1). ……………………………10分
法二:①当n=2时,R
1
=T
1
=
=1,2(T
2
-1)=2(
=1,
∴ n=2时,等式成立.
②假设n=k(k≥2)时,等式成立,即
,
当n=k+1时,
=
=
=
=
=
=
.
∴ 当n=k+1时,等式也成立.
综合①②知,原等式对n≥2,n∈N*均成立. …………………………10分
(III)由(I)知,
.
由分析法易知,
,
当k≥2时,
,∴
.即
.
举一反三
定义函数
,其中
表示不超过
的最大整数,如:
,
当
时,设函数
的值域为
A
,记集合
A
中的元素个数为
,则
=
题型:不详
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已知
为等差数列,
,
,则
___________.
题型:不详
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已知等差数列
中
(1)求数列
的通项公式
(2)当n取何值时,数列
的前
项和
取得最值 ,并求出最值。
题型:不详
难度:
|
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各项为正数的数列
,其前
项的和为
,且
,若
,且数列
的前
项的和为
,则
.
题型:不详
难度:
|
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在公差不为0的等差数列
成等比数列,则该等比数列的公比
.
题型:不详
难度:
|
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