(1)若,则即为常数,不妨设(c为常数). 因为恒成立,所以,即. 而且当时,, ① , ② ①-②得 . 若an=0,则,…,a1=0,与已知矛盾,所以. 故数列{an}是首项为1,公比为的等比数列. 【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k=1,设(b,c为常数), 当时,, ③ , ④ ③-④得 . 要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有(常数), 而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an =1, 故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an =1,此时. (iii) 若k=2,设(,a,b,c是常数), 当时,, ⑤ , ⑥ ⑤-⑥得 ,要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有 ,且d=2a, 考虑到a1=1,所以. 故当k=2时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为, 此时(a为非零常数). (iv) 当时,若数列{an}能成等差数列,则的表达式中n的最高次数为2,故数列{an} 不能成等差数列. 综上得,当且仅当k=1或2时,数列{an}能成等差数列. |