设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，32)到F1，F2两点距离之和等于4．（Ⅰ）求此椭圆方程；（Ⅱ）

题型：攀枝花三模难度：来源：

设F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，

3

2

)到F₁，F₂两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(

1

8

，0)，求k的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意有

2a=4 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a=2 b= 3

∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

⇒（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3
又x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴MN中点P的坐标为(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)
设MN的垂直平分线l"方程：y=-

1

k

(x-

1

8

)
∵p在l"上∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

8

)
即4k²+8km+3=0∴m=-

1

8k

(4k2+3)
将上式代入得

(4k2+3)2

64k2

＜4k2+3∴k²＞

1

20

即k＞

5

10

或k＜-

5

10

∴k的取值范围为(-∞，-

5

10

)∪(

5

10

，+∞)．