已知椭圆C：x2a2+y2b2=1  (a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），左、右顶点分别A、B，其中B点的坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过F

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已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），左、右顶点分别A、B，其中B点的坐标为（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过F的直线交C于M、N，记△AMB、△ANB的面积分别为S₁、S₂，求

S1

S2

的取值范围．

答案

（I）由已知得a=2，c=1，
又在椭圆中有b²=a²-c²，
所以b²=3
所以椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由方程组

3x2+4y2=12 x=my+1

，
消x，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2=

-6m

3m2+4

，①
y1y2=

-9

3m2+4

，②
①²/②得

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4m2

3m2+4

，，令t=

y1

y2

，
则|t|+|

1

t

|=|t+

1

t

|=

10m2+8

3m2+4

=

10

3

-

16 3

3m2+4

，
∴2≤|t|+|

1

t

|＜

10

3

，即

1

3

＜|t|＜3．
∵

S△AMB

S△ANB

=

1 2 |AB||y1|

1 2 |AB||y2|

=|t|，
∴

S△AMB

S△ANB

∈(

1

3

，3)