设数列{an}满足a1 = 3,an+1 = 2an+n·2n+1+3n,n≥1。(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项之和Sn。
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设数列{an}满足a1 = 3,an+1 = 2an+n·2n+1+3n,n≥1。(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项之和Sn。
题型:不详
难度:
来源:
设数列{
a
n
}满足
a
1
= 3,
a
n
+1
= 2
a
n
+
n·
2
n
+1
+3
n
,
n
≥1。
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)求数列{
a
n
}的前
n
项之和
S
n
。
答案
(1)
a
n
=2
n
-1
·(
n
2
-
n
)+3
n
;
(2)
S
n
=
- (
n
-2)·2
n
+1
+(
n
-1)·
n
·2
n
-4=
- (
n
-2)·2
n
+1
+(
n
-1)·
n
·2
n
-4
解析
(1)
a
n
= 2
a
n
-
1
+(
n
-1)·2
n
+3
n
-
1
=2[2
a
n
-
2
+(
n
-2)·2
n
-1
+3
n
-2
]+(
n
-1)·2
n
+3
n
-1
=2
2
a
n
-
2
+[(
n
-2)+(
n
-1)]·2
n
+(2·3
n
-2
+3
n
-1
)
=2
2
[2
a
n
-
3
+(
n
-3)·2
n
-2
+3
n
-3
]+[(
n
-2)+(
n
-1)]·2
n
+(2·3
n
-2
+3
n
-1
)
=2
3
a
n
-
3
+[(
n
-3)+(
n
-2)+(
n
-1)]·2
n
+(2
2
·3
n
-
3
+2·3
n
-2
+3
n
-1
)
=……
=2
n
-1
a
1
+[1+2+3+…+(
n
-1)]·2
n
+(2
n
-2
·3+2
n
-3
·3
2
+…+3
n
-1
)
=2
n
-1
·3+·2
n
+2
n
-2
·3·
=2
n
-1
·(
n
2
-
n
+3)+2
n
-1
·3[()
n
-1
-1]
=2
n
-1
·(
n
2
-
n
)+3
n
。
(2)设数列{
b
n
},其中
b
n
=2
n
-1
·(
n
2
-
n
),
M
n
为其前
n
项和,则
S
n
= M
n
+3
n
。
M
n
=0+1·2·2
1
+2·3·2
2
+3·4·2
3
+…+(
n
-1)·
n
·2
n
-1
,
2
M
n
= 1·2·2
2
+2·3·2
3
+…+(
n
-1)·
n
·2
n
,
相减得 -
M
n
= 1·2·2+2·2·2
2
+3·2·2
3
+…+2·(
n
-1)·2
n
-1
- (
n
-1)
n
·2
n
=1·2
2
+2·2
3
+3·2
4
+…+(
n
-1)·2
n
- (
n
-1)
n
·2
n
,
-2
M
n
= 1·2
3
+2·2
4
+3·2
5
+…+(
n
-1)·2
n
+1
- (
n
-1)·
n
·2
n
+1
,
相减得
M
n
= 1·2
2
+2
3
+2
4
+…+2
n
- (
n
-1)·2
n
+1
+(
n
-1)
n
·2
n
= (2-
n
)·2
n
+1
+(
n
-1)·
n
·2
n
-4,
S
n
=
M
n
+3+3
2
+…+3
n
=
- (
n
-2)·2
n
+1
+(
n
-1)·
n
·2
n
-4。
举一反三
已知数列
的前
项和为
,且
.数列
为等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求数列
,
的通项公式;
(Ⅱ)若数列
满足
,求数列
的前
项和
;
题型:不详
难度:
|
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等差数列
前9项的和等于前4项的和.若
,则
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设数列
满足
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)设
,记
,证明:
。
题型:不详
难度:
|
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(本小题共12分)
设d为非零实数,a
n
=
[C
1
n
d+2C
n
2
d
2
+…+(n—1)C
n
n-1
d
n-1
+nC
n
n
d
n
](n∈N
*
).
(I) 写出a
1,
a
2,
a
3
并判断{a
n
}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;
(II)设b
n
=nda
n
(n∈N
*
),求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题共l4分)
已知
函数f(x)=
x
+
, h(x)=
.
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x),求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程log
4
[
]=1og
2
h(a-x)一log
2
h (4-x);
(Ⅲ)试比较
与
的大小.
题型:不详
难度:
|
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