解:(1)解法1:由 可得,------------------------------3分 ∴数列是首项为,公差为1等差数列, ∴, -----------------6分 ∴数列的通项公式为.-----------------------7分 解法2:由 可得-------------------------2分 令,则---------------------3分 ∴当时 ----5分
∴ --------------------------------6分 ∴-------------------------------7分 解法3:∵, -------------1分 ,-----------------------------------2分 .---------------------------3分 由此可猜想出数列的通项公式为.----------------4分 以下用数学归纳法证明. ①当时,,等式成立. ②假设当()时等式成立,即, 那么 .--------------------------------6分 这就是说,当时等式也成立.根据①和②可知,等式对任何都成立.-------------------------------7分 (2)令, ------①-----8分 ------②------9分 ①式减去②式得: ,-------10分 ∴.------------------12分 ∴数列的前项和 |