已知数列满足对任意的，都有且.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

题型：不详难度：来源：

已知数列满足对任意的，都有且.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

答案

（1） （2）.（3）

解析

试题分析：（1）当， 时直接代入条件且可求
（2）递推一项，然后做差得，所以
由于a₂－a₁＝1，即当时都有
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故
（3）由（2）知则
利用裂项相消法得Sn,根据单调递增得
要使不等式对任意正整数恒成立，只要
可求得实数的取值范围是.
试题解析：(（1）当时，有，由于，所以
当时，有，将代入上式，由于，所以
（2）由于，①
则有②
②－①，得
由于，所以③
同样有()，④
③－④，得，所以
由于a₂－a₁＝1，即当时都有
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故 
（3）由（2）知
则
所以
∵∴数列单调递增．
所以
要使不等式对任意正整数恒成立，只要
∵
∴，即.所以，实数的取值范围是.